1 IDEAS ABOUT THINGS TO WORK ON
3 * mpq_cmp: Maybe the most sensible thing to do would be to multiply the, say,
4   4 most significant limbs of each operand and compare them.  If that is not
5   sufficient, do the same for 8 limbs, etc.
7 * Write mpi, the Multiple Precision Interval Arithmetic layer.
9 * Write `mpX_eval' that take lambda-like expressions and a list of operands.
11 * As a general rule, recognize special operand values in mpz and mpf, and
12   use shortcuts for speed.  Examples: Recognize (small or all) 2^n in
13   multiplication and division.  Recognize small bases in mpz_pow_ui.
15 * Implement lazy allocation?  mpz->d == 0 would mean no allocation made yet.
17 * Maybe store one-limb numbers according to Per Bothner's idea:
18     struct {
19       mp_ptr d;
20       union {
21         mp_limb val;    /* if (d == NULL).  */
22         mp_size size;   /* Length of data array, if (d != NULL).  */
23       } u;
24     };
25   Problem: We can't normalize to that format unless we free the space
26   pointed to by d, and therefore small values will not be stored in a
27   canonical way.
29 * Document complexity of all functions.
31 * Add predicate functions mpz_fits_signedlong_p, mpz_fits_unsignedlong_p,
32   mpz_fits_signedint_p, etc.
34   mpz_floor (mpz, mpq), mpz_trunc (mpz, mpq), mpz_round (mpz, mpq).
36 * Better random number generators.  There should be fast (like mpz_random),
37   very good (mpz_veryrandom), and special purpose (like mpz_random2).  Sizes
38   in *bits*, not in limbs.
40 * It'd be possible to have an interface "s = add(a,b)" with automatic GC.
41   If the mpz_xinit routine remembers the address of the variable we could
42   walk-and-mark the list of remembered variables, and free the space
43   occupied by the remembered variables that didn't get marked.  Fairly
44   standard.
46 * Improve speed for non-gcc compilers by defining umul_ppmm, udiv_qrnnd,
47   etc, to call __umul_ppmm, __udiv_qrnnd.  A typical definition for
48   umul_ppmm would be
49   #define umul_ppmm(ph,pl,m0,m1) \
50     {unsigned long __ph; (pl) = __umul_ppmm (&__ph, (m0), (m1)); (ph) = __ph;}
51   In order to maintain just one version of longlong.h (gmp and gcc), this
52   has to be done outside of longlong.h.
54 Bennet Yee at CMU proposes:
55 * mpz_{put,get}_raw for memory oriented I/O like other *_raw functions.
56 * A function mpfatal that is called for exceptions.  Let the user override
57   a default definition.
59 * Make all computation mpz_* functions return a signed int indicating if the
60   result was zero, positive, or negative?
62 * Implement mpz_cmpabs, mpz_xor, mpz_to_double, mpz_to_si, mpz_lcm, mpz_dpb,
63   mpz_ldb, various bit string operations.  Also mpz_@_si for most @??
65 * Add macros for looping efficiently over a number's limbs:
66         MPZ_LOOP_OVER_LIMBS_INCREASING(num,limb)
67           { user code manipulating limb}
68         MPZ_LOOP_OVER_LIMBS_DECREASING(num,limb)
69           { user code manipulating limb}
71 Brian Beuning proposes:
72    1. An array of small primes
73    3. A function to factor a mpz_t.  [How do we return the factors?  Maybe
74       we just return one arbitrary factor?  In the latter case, we have to
75       use a data structure that records the state of the factoring routine.]
76    4. A routine to look for "small" divisors of an mpz_t
77    5. A 'multiply mod n' routine based on Montgomery's algorithm.
79 Dough Lea proposes:
80    1. A way to find out if an integer fits into a signed int, and if so, a
81       way to convert it out.
82    2. Similarly for double precision float conversion.
83    3. A function to convert the ratio of two integers to a double.  This
84       can be useful for mixed mode operations with integers, rationals, and
85       doubles.
87 Elliptic curve method description in the Chapter `Algorithms in Number
88 Theory' in the Handbook of Theoretical Computer Science, Elsevier,
89 Amsterdam, 1990.  Also in Carl Pomerance's lecture notes on Cryptology and
90 Computational Number Theory, 1990.
92 * Harald Kirsh suggests:
93   mpq_set_str (MP_RAT *r, char *numerator, char *denominator).
95 * New function: mpq_get_ifstr (int_str, frac_str, base,
96   precision_in_som_way, rational_number).  Convert RATIONAL_NUMBER to a
97   string in BASE and put the integer part in INT_STR and the fraction part
98   in FRAC_STR.  (This function would do a division of the numerator and the
99   denominator.)
101 * Should mpz_powm* handle negative exponents?
103 * udiv_qrnnd: If the denominator is normalized, the n0 argument has very
104   little effect on the quotient.  Maybe we can assume it is 0, and
105   compensate at a later stage?
107 * Better sqrt: First calculate the reciprocal square root, then multiply by
108   the operand to get the square root.  The reciprocal square root can be
109   obtained through Newton-Raphson without division.  To compute sqrt(A), the
110   iteration is,
112                                     2
113                    x   = x  (3 - A x )/2.
114                     i+1   i         i
116   The final result can be computed without division using,
118                      sqrt(A) = A x .
119                                   n
121 * Newton-Raphson using multiplication: We get twice as many correct digits
122   in each iteration.  So if we square x(k) as part of the iteration, the
123   result will have the leading digits in common with the entire result from
124   iteration k-1.  A _mpn_mul_lowpart could help us take advantage of this.
126 * Peter Montgomery: If 0 <= a, b < p < 2^31 and I want a modular product
127   a*b modulo p and the long long type is unavailable, then I can write
129           typedef   signed long slong;
130           typedef unsigned long ulong;
131           slong a, b, p, quot, rem;
133           quot = (slong) (0.5 + (double)a * (double)b / (double)p);
134           rem =  (slong)((ulong)a * (ulong)b - (ulong)p * (ulong)quot);
135           if (rem < 0} {rem += p; quot--;}
137 * Speed modulo arithmetic, using Montgomery's method or my pre-inversion
138   method.  In either case, special arithmetic calls would be needed,
139   mpz_mmmul, mpz_mmadd, mpz_mmsub, plus some kind of initialization
140   functions.  Better yet: Write a new mpr layer.
142 * mpz_powm* should not use division to reduce the result in the loop, but
143   instead pre-compute the reciprocal of the MOD argument and do reduced_val
144   = val-val*reciprocal(MOD)*MOD, or use Montgomery's method.
146 * mpz_mod_2expplussi -- to reduce a bignum modulo (2**n)+s
148 * It would be a quite important feature never to allocate more memory than
149   really necessary for a result.  Sometimes we can achieve this cheaply, by
150   deferring reallocation until the result size is known.
152 * New macro in longlong.h: shift_rhl that extracts a word by shifting two
153   words as a unit.  (Supported by i386, i860, HP-PA, POWER, 29k.)  Useful
154   for shifting multiple precision numbers.
156 * The installation procedure should make a test run of multiplication to
157   decide the threshold values for algorithm switching between the available
158   methods.
160 * Fast output conversion of x to base B:
161     1. Find n, such that (B^n > x).
162     2. Set y to (x*2^m)/(B^n), where m large enough to make 2^n ~~ B^n
163     3. Multiply the low half of y by B^(n/2), and recursively convert the
164        result.  Truncate the low half of y and convert that recursively.
165   Complexity: O(M(n)log(n))+O(D(n))!
167 * Improve division using Newton-Raphson.  Check out "Newton Iteration and
168   Integer Division" by Stephen Tate in "Synthesis of Parallel Algorithms",
169   Morgan Kaufmann, 1993 ("beware of some errors"...)
171 * Improve implementation of Karatsuba's algorithm.  For most operand sizes,
172   we can reduce the number of operations by splitting differently.
174 * Faster multiplication: The best approach is to first implement Toom-Cook.
175   People report that it beats Karatsuba's algorithm already at about 100
176   limbs.  FFT would probably never beat a well-written Toom-Cook (not even for
177   millions of bits).
179 FFT:
180 {
181   * Multiplication could be done with Montgomery's method combined with
182     the "three primes" method described in Lipson.  Maybe this would be
183     faster than to Nussbaumer's method with 3 (simple) moduli?
185   * Maybe the modular tricks below are not needed: We are using very
186     special numbers, Fermat numbers with a small base and a large exponent,
187     and maybe it's possible to just subtract and add?
189   * Modify Nussbaumer's convolution algorithm, to use 3 words for each
190     coefficient, calculating in 3 relatively prime moduli (e.g.
191     0xffffffff, 0x100000000, and 0x7fff on a 32-bit computer).  Both all
192     operations and CRR would be very fast with such numbers.
194   * Optimize the Schoenhage-Stassen multiplication algorithm.  Take advantage
195     of the real valued input to save half of the operations and half of the
196     memory.  Use recursive FFT with large base cases, since recursive FFT has
197     better memory locality.  A normal FFT get 100% cache misses for large
198     enough operands.
200   * In the 3-prime convolution method, it might sometimes be a win to use 2,
201     3, or 5 primes.  Imagine that using 3 primes would require a transform
202     length of 2^n.  But 2 primes might still sometimes give us correct
203     results with that same transform length, or 5 primes might allow us to
204     decrease the transform size to 2^(n-1).
206   To optimize floating-point based complex FFT we have to think of:
208   1. The normal implementation accesses all input exactly once for each of
209      the log(n) passes.  This means that we will get 0% cache hit when n >
210      our cache.  Remedy: Reorganize computation to compute partial passes,
211      maybe similar to a standard recursive FFT implementation.  Use a large
212      `base case' to make any extra overhead of this organization negligible.
214   2. Use base-4, base-8 and base-16 FFT instead of just radix-2.  This can
215      reduce the number of operations by 2x.
217   3. Inputs are real-valued.  According to Knuth's "Seminumerical
218      Algorithms", exercise 4.6.4-14, we can save half the memory and half
219      the operations if we take advantage of that.
221   4. Maybe make it possible to write the innermost loop in assembly, since
222      that could win us another 2x speedup.  (If we write our FFT to avoid
223      cache-miss (see #1 above) it might be logical to write the `base case'
224      in assembly.)
226   5. Avoid multiplication by 1, i, -1, -i.  Similarly, optimize
227      multiplication by (+-\/2 +- i\/2).
229   6. Put as many bits as possible in each double (but don't waste time if
230      that doesn't make the transform size become smaller).
232   7. For n > some large number, we will get accuracy problems because of the
233      limited precision of our floating point arithmetic.  This can easily be
234      solved by using the Karatsuba trick a few times until our operands
235      become small enough.
237   8. Precompute the roots-of-unity and store them in a vector.
238 }
240 * When a division result is going to be just one limb, (i.e. nsize-dsize is
241   small) normalization could be done in the division loop.
243 * Never allocate temporary space for a source param that overlaps with a
244   destination param needing reallocation.  Instead malloc a new block for
245   the destination (and free the source before returning to the caller).
247 * Parallel addition.  Since each processors have to tell it is ready to the
248   next processor, we can use simplified synchronization, and actually write
249   it in C:  For each processor (apart from the least significant):
251         while (*svar != my_number)
252           ;
253         *svar = my_number + 1;
255   The least significant processor does this:
257         *svar = my_number + 1;  /* i.e., *svar = 1 */
259   Before starting the addition, one processor has to store 0 in *svar.
261   Other things to think about for parallel addition: To avoid false
262   (cache-line) sharing, allocate blocks on cache-line boundaries.
264 \f
265 Local Variables:
266 mode: text
267 fill-column: 77
268 fill-prefix: "  "
269 version-control: never
270 End: