Add powerSet to Data.Set
[packages/containers.git] / Data / Set.hs
index 9ba68b1..bf19d2a 100644 (file)
@@ -1,17 +1,22 @@
-{-# OPTIONS -cpp #-}
+{-# LANGUAGE CPP #-}
+#if !defined(TESTING) && __GLASGOW_HASKELL__ >= 703
+{-# LANGUAGE Safe #-}
+#endif
+
+#include "containers.h"
+
 -----------------------------------------------------------------------------
 -- |
 -- Module      :  Data.Set
 -- Copyright   :  (c) Daan Leijen 2002
 -- License     :  BSD-style
 -- Maintainer  :  libraries@haskell.org
--- Stability   :  provisional
 -- Portability :  portable
 --
 -- An efficient implementation of sets.
 --
--- Since many function names (but not the type name) clash with
--- "Prelude" names, this module is usually imported @qualified@, e.g.
+-- These modules are intended to be imported qualified, to avoid name
+-- clashes with Prelude functions, e.g.
 --
 -- >  import Data.Set (Set)
 -- >  import qualified Data.Set as Set
 --    * Stephen Adams, \"/Efficient sets: a balancing act/\",
 --      Journal of Functional Programming 3(4):553-562, October 1993,
 --      <http://www.swiss.ai.mit.edu/~adams/BB/>.
---
 --    * J. Nievergelt and E.M. Reingold,
 --      \"/Binary search trees of bounded balance/\",
 --      SIAM journal of computing 2(1), March 1973.
 --
+--  Bounds for 'union', 'intersection', and 'difference' are as given
+--  by
+--
+--    * Guy Blelloch, Daniel Ferizovic, and Yihan Sun,
+--      \"/Just Join for Parallel Ordered Sets/\",
+--      <https://arxiv.org/abs/1602.02120v3>.
+--
 -- Note that the implementation is /left-biased/ -- the elements of a
 -- first argument are always preferred to the second, for example in
 -- 'union' or 'insert'.  Of course, left-biasing can only be observed
 -- when equality is an equivalence relation instead of structural
 -- equality.
+--
+-- /Warning/: The size of the set must not exceed @maxBound::Int@. Violation of
+-- this condition is not detected and if the size limit is exceeded, its
+-- behaviour is undefined.
 -----------------------------------------------------------------------------
 
-module Data.Set  ( 
+module Data.Set (
+            -- * Strictness properties
+            -- $strictness
+
             -- * Set type
-#if !defined(TESTING)    
+#if !defined(TESTING)
               Set          -- instance Eq,Ord,Show,Read,Data,Typeable
 #else
               Set(..)
@@ -46,39 +64,65 @@ module Data.Set  (
             , (\\)
 
             -- * Query
-            , null
+            , S.null
             , size
             , member
             , notMember
+            , lookupLT
+            , lookupGT
+            , lookupLE
+            , lookupGE
             , isSubsetOf
             , isProperSubsetOf
-            
+
             -- * Construction
             , empty
             , singleton
             , insert
             , delete
-            
+            , powerSet
+
             -- * Combine
             , union
             , unions
             , difference
             , intersection
-            
+
             -- * Filter
-            , filter
+            , S.filter
+            , takeWhileAntitone
+            , dropWhileAntitone
+            , spanAntitone
             , partition
             , split
             , splitMember
+            , splitRoot
+
+            -- * Indexed
+            , lookupIndex
+            , findIndex
+            , elemAt
+            , deleteAt
+            , S.take
+            , S.drop
+            , S.splitAt
 
             -- * Map
-            , map
+            , S.map
             , mapMonotonic
 
-            -- * Fold
+            -- * Folds
+            , S.foldr
+            , S.foldl
+            -- ** Strict folds
+            , foldr'
+            , foldl'
+            -- ** Legacy folds
             , fold
 
             -- * Min\/Max
+            , lookupMin
+            , lookupMax
             , findMin
             , findMax
             , deleteMin
@@ -94,12 +138,15 @@ module Data.Set  (
             , elems
             , toList
             , fromList
-            
+
             -- ** Ordered list
             , toAscList
+            , toDescList
             , fromAscList
+            , fromDescList
             , fromDistinctAscList
-                        
+            , fromDistinctDescList
+
             -- * Debugging
             , showTree
             , showTreeWith
@@ -109,923 +156,19 @@ module Data.Set  (
             -- Internals (for testing)
             , bin
             , balanced
-            , join
+            , link
             , merge
-#endif    
-            ) where
-
-import Prelude hiding (filter,foldr,null,map)
-import qualified Data.List as List
-import Data.Monoid (Monoid(..))
-import Data.Foldable (Foldable(foldMap))
-#ifndef __GLASGOW_HASKELL__
-import Data.Typeable (Typeable, typeOf, typeOfDefault)
-#endif
-import Data.Typeable (Typeable1(..), TyCon, mkTyCon, mkTyConApp)
-
-{-
--- just for testing
-import QuickCheck 
-import List (nub,sort)
-import qualified List
--}
-
-#if __GLASGOW_HASKELL__
-import Text.Read
-import Data.Data (Data(..), mkNoRepType, gcast1)
 #endif
+            ) where
 
-{--------------------------------------------------------------------
-  Operators
---------------------------------------------------------------------}
-infixl 9 \\ --
-
--- | /O(n+m)/. See 'difference'.
-(\\) :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-m1 \\ m2 = difference m1 m2
-{-# INLINE (\\) #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Sets are size balanced trees
---------------------------------------------------------------------}
--- | A set of values @a@.
-data Set a    = Tip 
-              | Bin {-# UNPACK #-} !Size !a !(Set a) !(Set a) 
-
-type Size     = Int
-
-instance Ord a => Monoid (Set a) where
-    mempty  = empty
-    mappend = union
-    mconcat = unions
-
-instance Foldable Set where
-    foldMap _ Tip = mempty
-    foldMap f (Bin _s k l r) = foldMap f l `mappend` f k `mappend` foldMap f r
-
-#if __GLASGOW_HASKELL__
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  A Data instance  
---------------------------------------------------------------------}
-
--- This instance preserves data abstraction at the cost of inefficiency.
--- We omit reflection services for the sake of data abstraction.
-
-instance (Data a, Ord a) => Data (Set a) where
-  gfoldl f z set = z fromList `f` (toList set)
-  toConstr _     = error "toConstr"
-  gunfold _ _    = error "gunfold"
-  dataTypeOf _   = mkNoRepType "Data.Set.Set"
-  dataCast1 f    = gcast1 f
-
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Query
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(1)/. Is this the empty set?
-null :: Set a -> Bool
-null Tip      = True
-null (Bin {}) = False
-{-# INLINE null #-}
-
--- | /O(1)/. The number of elements in the set.
-size :: Set a -> Int
-size = go
-  where
-    go Tip            = 0
-    go (Bin sz _ _ _) = sz
-{-# INLINE size #-}
-
--- | /O(log n)/. Is the element in the set?
-member :: Ord a => a -> Set a -> Bool
-member x = x `seq` go
-  where
-    go Tip = False
-    go (Bin _ y l r) = case compare x y of
-        LT -> go l
-        GT -> go r
-        EQ -> True       
-{-# INLINE member #-}
-        
--- | /O(log n)/. Is the element not in the set?
-notMember :: Ord a => a -> Set a -> Bool
-notMember a t = not $ member a t
-{-# INLINE notMember #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Construction
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(1)/. The empty set.
-empty  :: Set a
-empty = Tip
-{-# INLINE empty #-}
-
--- | /O(1)/. Create a singleton set.
-singleton :: a -> Set a
-singleton x = Bin 1 x Tip Tip
-{-# INLINE singleton #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Insertion, Deletion
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(log n)/. Insert an element in a set.
--- If the set already contains an element equal to the given value,
--- it is replaced with the new value.
-insert :: Ord a => a -> Set a -> Set a
-insert x = x `seq` go
-  where
-    go Tip = singleton x
-    go (Bin sz y l r) = case compare x y of
-        LT -> balance y (go l) r
-        GT -> balance y l (go r)
-        EQ -> Bin sz x l r
-{-# INLINE insert #-}
-
--- Insert an element to the set only if it is not in the set. Used by
--- `union`.
-insertR :: Ord a => a -> Set a -> Set a
-insertR x = x `seq` go
-  where
-    go Tip = singleton x
-    go t@(Bin sz y l r) = case compare x y of
-        LT -> balance y (go l) r
-        GT -> balance y l (go r)
-        EQ -> t
-{-# INLINE insertR #-}
-
--- | /O(log n)/. Delete an element from a set.
-delete :: Ord a => a -> Set a -> Set a
-delete x = x `seq` go
-  where
-    go Tip = Tip
-    go (Bin _ y l r) = case compare x y of
-        LT -> balance y (go l) r
-        GT -> balance y l (go r)
-        EQ -> glue l r
-{-# INLINE delete #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Subset
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n+m)/. Is this a proper subset? (ie. a subset but not equal).
-isProperSubsetOf :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool
-isProperSubsetOf s1 s2
-    = (size s1 < size s2) && (isSubsetOf s1 s2)
-
-
--- | /O(n+m)/. Is this a subset?
--- @(s1 `isSubsetOf` s2)@ tells whether @s1@ is a subset of @s2@.
-isSubsetOf :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool
-isSubsetOf t1 t2
-  = (size t1 <= size t2) && (isSubsetOfX t1 t2)
-
-isSubsetOfX :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool
-isSubsetOfX Tip _ = True
-isSubsetOfX _ Tip = False
-isSubsetOfX (Bin _ x l r) t
-  = found && isSubsetOfX l lt && isSubsetOfX r gt
-  where
-    (lt,found,gt) = splitMember x t
-
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Minimal, Maximal
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(log n)/. The minimal element of a set.
-findMin :: Set a -> a
-findMin (Bin _ x Tip _) = x
-findMin (Bin _ _ l _)   = findMin l
-findMin Tip             = error "Set.findMin: empty set has no minimal element"
-
--- | /O(log n)/. The maximal element of a set.
-findMax :: Set a -> a
-findMax (Bin _ x _ Tip)  = x
-findMax (Bin _ _ _ r)    = findMax r
-findMax Tip              = error "Set.findMax: empty set has no maximal element"
-
--- | /O(log n)/. Delete the minimal element.
-deleteMin :: Set a -> Set a
-deleteMin (Bin _ _ Tip r) = r
-deleteMin (Bin _ x l r)   = balance x (deleteMin l) r
-deleteMin Tip             = Tip
-
--- | /O(log n)/. Delete the maximal element.
-deleteMax :: Set a -> Set a
-deleteMax (Bin _ _ l Tip) = l
-deleteMax (Bin _ x l r)   = balance x l (deleteMax r)
-deleteMax Tip             = Tip
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Union. 
---------------------------------------------------------------------}
--- | The union of a list of sets: (@'unions' == 'foldl' 'union' 'empty'@).
-unions :: Ord a => [Set a] -> Set a
-unions = foldlStrict union empty
-{-# INLINE unions #-}
-
--- | /O(n+m)/. The union of two sets, preferring the first set when
--- equal elements are encountered.
--- The implementation uses the efficient /hedge-union/ algorithm.
--- Hedge-union is more efficient on (bigset `union` smallset).
-union :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-union Tip t2  = t2
-union t1 Tip  = t1
-union (Bin _ x Tip Tip) t = insert x t
-union t (Bin _ x Tip Tip) = insertR x t
-union t1 t2 = hedgeUnion NothingS NothingS t1 t2
-{-# INLINE union #-}
-
-hedgeUnion :: Ord a
-           => MaybeS a -> MaybeS a -> Set a -> Set a -> Set a
-hedgeUnion _     _     t1 Tip
-  = t1
-hedgeUnion blo bhi Tip (Bin _ x l r)
-  = join x (filterGt blo l) (filterLt bhi r)
-hedgeUnion blo bhi (Bin _ x l r) t2
-  = join x (hedgeUnion blo bmi l (trim blo bmi t2))
-           (hedgeUnion bmi bhi r (trim bmi bhi t2))
-  where
-    bmi = JustS x
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Difference
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n+m)/. Difference of two sets. 
--- The implementation uses an efficient /hedge/ algorithm comparable with /hedge-union/.
-difference :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-difference Tip _   = Tip
-difference t1 Tip  = t1
-difference t1 t2   = hedgeDiff NothingS NothingS t1 t2
-{-# INLINE difference #-}
-
-hedgeDiff :: Ord a
-          => MaybeS a -> MaybeS a -> Set a -> Set a -> Set a
-hedgeDiff _ _ Tip _
-  = Tip
-hedgeDiff blo bhi (Bin _ x l r) Tip
-  = join x (filterGt blo l) (filterLt bhi r)
-hedgeDiff blo bhi t (Bin _ x l r)
-  = merge (hedgeDiff blo bmi (trim blo bmi t) l)
-          (hedgeDiff bmi bhi (trim bmi bhi t) r)
-  where
-    bmi = JustS x
+import Data.Set.Internal as S
 
-{--------------------------------------------------------------------
-  Intersection
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n+m)/. The intersection of two sets.
--- Elements of the result come from the first set, so for example
+-- $strictness
 --
--- > import qualified Data.Set as S
--- > data AB = A | B deriving Show
--- > instance Ord AB where compare _ _ = EQ
--- > instance Eq AB where _ == _ = True
--- > main = print (S.singleton A `S.intersection` S.singleton B,
--- >               S.singleton B `S.intersection` S.singleton A)
+-- This module satisfies the following strictness property:
 --
--- prints @(fromList [A],fromList [B])@.
-intersection :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-intersection Tip _ = Tip
-intersection _ Tip = Tip
-intersection t1@(Bin s1 x1 l1 r1) t2@(Bin s2 x2 l2 r2) =
-   if s1 >= s2 then
-      let (lt,found,gt) = splitLookup x2 t1
-          tl            = intersection lt l2
-          tr            = intersection gt r2
-      in case found of
-      Just x -> join x tl tr
-      Nothing -> merge tl tr
-   else let (lt,found,gt) = splitMember x1 t2
-            tl            = intersection l1 lt
-            tr            = intersection r1 gt
-        in if found then join x1 tl tr
-           else merge tl tr
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Filter and partition
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Filter all elements that satisfy the predicate.
-filter :: Ord a => (a -> Bool) -> Set a -> Set a
-filter p = go
-  where 
-    go Tip = Tip
-    go (Bin _ x l r)
-        | p x       = join x (go l) (go r)
-        | otherwise = merge (go l) (go r)
-{-# INLINE filter #-}
-
--- | /O(n)/. Partition the set into two sets, one with all elements that satisfy
--- the predicate and one with all elements that don't satisfy the predicate.
--- See also 'split'.
-partition :: Ord a => (a -> Bool) -> Set a -> (Set a,Set a)
-partition p = go
-  where
-    go Tip = (Tip, Tip)
-    go (Bin _ x l r) = case (go l, go r) of
-        ((l1, l2), (r1, r2))
-            | p x       -> (join x l1 r1, merge l2 r2)
-            | otherwise -> (merge l1 r1, join x l2 r2)
-{-# INLINE partition #-}
-
-{----------------------------------------------------------------------
-  Map
-----------------------------------------------------------------------}
-
--- | /O(n*log n)/. 
--- @'map' f s@ is the set obtained by applying @f@ to each element of @s@.
--- 
--- It's worth noting that the size of the result may be smaller if,
--- for some @(x,y)@, @x \/= y && f x == f y@
-
-map :: (Ord a, Ord b) => (a->b) -> Set a -> Set b
-map f = fromList . List.map f . toList
-{-# INLINE map #-}
-
--- | /O(n)/. The 
+-- * Key arguments are evaluated to WHNF
 --
--- @'mapMonotonic' f s == 'map' f s@, but works only when @f@ is monotonic.
--- /The precondition is not checked./
--- Semi-formally, we have:
--- 
--- > and [x < y ==> f x < f y | x <- ls, y <- ls] 
--- >                     ==> mapMonotonic f s == map f s
--- >     where ls = toList s
-
-mapMonotonic :: (a->b) -> Set a -> Set b
-mapMonotonic f = go
-  where
-    go Tip = Tip
-    go (Bin sz x l r) = Bin sz (f x) (go l) (go r)
-{-# INLINE mapMonotonic #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Fold
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Fold over the elements of a set in an unspecified order.
-fold :: (a -> b -> b) -> b -> Set a -> b
-fold = foldr
-{-# INLINE fold #-}
-
--- | /O(n)/. Post-order fold.
-foldr :: (a -> b -> b) -> b -> Set a -> b
-foldr f = go
-  where
-    go z Tip           = z
-    go z (Bin _ x l r) = go (f x (go z r)) l
-{-# INLINE foldr #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  List variations 
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. The elements of a set.
-elems :: Set a -> [a]
-elems = toList
-{-# INLINE elems #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Lists 
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Convert the set to a list of elements.
-toList :: Set a -> [a]
-toList = toAscList
-{-# INLINE toList #-}
-
--- | /O(n)/. Convert the set to an ascending list of elements.
-toAscList :: Set a -> [a]
-toAscList = foldr (:) []
-{-# INLINE toAscList #-}
-
--- | /O(n*log n)/. Create a set from a list of elements.
-fromList :: Ord a => [a] -> Set a 
-fromList = foldlStrict ins empty
-  where
-    ins t x = insert x t
-{-# INLINE fromList #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Building trees from ascending/descending lists can be done in linear time.
-  
-  Note that if [xs] is ascending that: 
-    fromAscList xs == fromList xs
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Build a set from an ascending list in linear time.
--- /The precondition (input list is ascending) is not checked./
-fromAscList :: Eq a => [a] -> Set a 
-fromAscList xs
-  = fromDistinctAscList (combineEq xs)
-  where
-  -- [combineEq xs] combines equal elements with [const] in an ordered list [xs]
-  combineEq xs'
-    = case xs' of
-        []     -> []
-        [x]    -> [x]
-        (x:xx) -> combineEq' x xx
-
-  combineEq' z [] = [z]
-  combineEq' z (x:xs')
-    | z==x      =   combineEq' z xs'
-    | otherwise = z:combineEq' x xs'
-
-
--- | /O(n)/. Build a set from an ascending list of distinct elements in linear time.
--- /The precondition (input list is strictly ascending) is not checked./
-fromDistinctAscList :: [a] -> Set a 
-fromDistinctAscList xs
-  = build const (length xs) xs
-  where
-    -- 1) use continutations so that we use heap space instead of stack space.
-    -- 2) special case for n==5 to build bushier trees. 
-    build c 0 xs'  = c Tip xs'
-    build c 5 xs'  = case xs' of
-                       (x1:x2:x3:x4:x5:xx) 
-                            -> c (bin x4 (bin x2 (singleton x1) (singleton x3)) (singleton x5)) xx
-                       _ -> error "fromDistinctAscList build 5"
-    build c n xs'  = seq nr $ build (buildR nr c) nl xs'
-                   where
-                     nl = n `div` 2
-                     nr = n - nl - 1
-
-    buildR n c l (x:ys) = build (buildB l x c) n ys
-    buildR _ _ _ []     = error "fromDistinctAscList buildR []"
-    buildB l x c r zs   = c (bin x l r) zs
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Eq converts the set to a list. In a lazy setting, this 
-  actually seems one of the faster methods to compare two trees 
-  and it is certainly the simplest :-)
---------------------------------------------------------------------}
-instance Eq a => Eq (Set a) where
-  t1 == t2  = (size t1 == size t2) && (toAscList t1 == toAscList t2)
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Ord 
---------------------------------------------------------------------}
-
-instance Ord a => Ord (Set a) where
-    compare s1 s2 = compare (toAscList s1) (toAscList s2) 
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Show
---------------------------------------------------------------------}
-instance Show a => Show (Set a) where
-  showsPrec p xs = showParen (p > 10) $
-    showString "fromList " . shows (toList xs)
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Read
---------------------------------------------------------------------}
-instance (Read a, Ord a) => Read (Set a) where
-#ifdef __GLASGOW_HASKELL__
-  readPrec = parens $ prec 10 $ do
-    Ident "fromList" <- lexP
-    xs <- readPrec
-    return (fromList xs)
-
-  readListPrec = readListPrecDefault
-#else
-  readsPrec p = readParen (p > 10) $ \ r -> do
-    ("fromList",s) <- lex r
-    (xs,t) <- reads s
-    return (fromList xs,t)
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Typeable/Data
---------------------------------------------------------------------}
-
-#include "Typeable.h"
-INSTANCE_TYPEABLE1(Set,setTc,"Set")
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Utility functions that return sub-ranges of the original
-  tree. Some functions take a `Maybe value` as an argument to
-  allow comparisons against infinite values. These are called `blow`
-  (Nothing is -\infty) and `bhigh` (here Nothing is +\infty).
-  We use MaybeS value, which is a Maybe strict in the Just case.
-
-  [trim blow bhigh t]   A tree that is either empty or where [x > blow]
-                        and [x < bhigh] for the value [x] of the root.
-  [filterGt blow t]     A tree where for all values [k]. [k > blow]
-  [filterLt bhigh t]    A tree where for all values [k]. [k < bhigh]
-
-  [split k t]           Returns two trees [l] and [r] where all values
-                        in [l] are <[k] and all keys in [r] are >[k].
-  [splitMember k t]     Just like [split] but also returns whether [k]
-                        was found in the tree.
---------------------------------------------------------------------}
-
-data MaybeS a = NothingS | JustS !a
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [trim blo bhi t] trims away all subtrees that surely contain no
-  values between the range [blo] to [bhi]. The returned tree is either
-  empty or the key of the root is between @blo@ and @bhi@.
---------------------------------------------------------------------}
-trim :: Ord a => MaybeS a -> MaybeS a -> Set a -> Set a
-trim NothingS   NothingS   t = t
-trim (JustS lx) NothingS   t = greater t where greater (Bin _ x _ r) | x <= lx = greater r
-                                               greater t = t
-trim NothingS   (JustS hx) t = lesser t  where lesser  (Bin _ x l _) | x >= hx = lesser  l
-                                               lesser  t = t
-trim (JustS lx) (JustS hx) t = middle t  where middle  (Bin _ x _ r) | x <= lx = middle  r
-                                               middle  (Bin _ x l _) | x >= hx = middle  l
-                                               middle  t = t
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [filterGt b t] filter all values >[b] from tree [t]
-  [filterLt b t] filter all values <[b] from tree [t]
---------------------------------------------------------------------}
-filterGt :: Ord a => MaybeS a -> Set a -> Set a
-filterGt NothingS t = t
-filterGt (JustS b) t = filter' t
-  where filter' Tip = Tip
-        filter' (Bin _ x l r) = case compare b x of LT -> join x (filter' l) r
-                                                    EQ -> r
-                                                    GT -> filter' r
-{-# INLINE filterGt #-}
-      
-filterLt :: Ord a => MaybeS a -> Set a -> Set a
-filterLt NothingS t = t
-filterLt (JustS b) t = filter' t
-  where filter' Tip = Tip
-        filter' (Bin _ x l r) = case compare x b of LT -> join x l (filter' r)
-                                                    EQ -> l
-                                                    GT -> filter' l
-{-# INLINE filterLt #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Split
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(log n)/. The expression (@'split' x set@) is a pair @(set1,set2)@
--- where @set1@ comprises the elements of @set@ less than @x@ and @set2@
--- comprises the elements of @set@ greater than @x@.
-split :: Ord a => a -> Set a -> (Set a,Set a)
-split _ Tip = (Tip,Tip)
-split x (Bin _ y l r)
-  = case compare x y of
-      LT -> let (lt,gt) = split x l in (lt,join y gt r)
-      GT -> let (lt,gt) = split x r in (join y l lt,gt)
-      EQ -> (l,r)
-
--- | /O(log n)/. Performs a 'split' but also returns whether the pivot
--- element was found in the original set.
-splitMember :: Ord a => a -> Set a -> (Set a,Bool,Set a)
-splitMember x t = let (l,m,r) = splitLookup x t in
-     (l,maybe False (const True) m,r)
-
--- | /O(log n)/. Performs a 'split' but also returns the pivot
--- element that was found in the original set.
-splitLookup :: Ord a => a -> Set a -> (Set a,Maybe a,Set a)
-splitLookup _ Tip = (Tip,Nothing,Tip)
-splitLookup x (Bin _ y l r)
-   = case compare x y of
-       LT -> let (lt,found,gt) = splitLookup x l in (lt,found,join y gt r)
-       GT -> let (lt,found,gt) = splitLookup x r in (join y l lt,found,gt)
-       EQ -> (l,Just y,r)
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Utility functions that maintain the balance properties of the tree.
-  All constructors assume that all values in [l] < [x] and all values
-  in [r] > [x], and that [l] and [r] are valid trees.
-  
-  In order of sophistication:
-    [Bin sz x l r]    The type constructor.
-    [bin x l r]       Maintains the correct size, assumes that both [l]
-                      and [r] are balanced with respect to each other.
-    [balance x l r]   Restores the balance and size.
-                      Assumes that the original tree was balanced and
-                      that [l] or [r] has changed by at most one element.
-    [join x l r]      Restores balance and size. 
-
-  Furthermore, we can construct a new tree from two trees. Both operations
-  assume that all values in [l] < all values in [r] and that [l] and [r]
-  are valid:
-    [glue l r]        Glues [l] and [r] together. Assumes that [l] and
-                      [r] are already balanced with respect to each other.
-    [merge l r]       Merges two trees and restores balance.
-
-  Note: in contrast to Adam's paper, we use (<=) comparisons instead
-  of (<) comparisons in [join], [merge] and [balance]. 
-  Quickcheck (on [difference]) showed that this was necessary in order 
-  to maintain the invariants. It is quite unsatisfactory that I haven't 
-  been able to find out why this is actually the case! Fortunately, it 
-  doesn't hurt to be a bit more conservative.
---------------------------------------------------------------------}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Join 
---------------------------------------------------------------------}
-join :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-join x Tip r  = insertMin x r
-join x l Tip  = insertMax x l
-join x l@(Bin sizeL y ly ry) r@(Bin sizeR z lz rz)
-  | delta*sizeL <= sizeR  = balance z (join x l lz) rz
-  | delta*sizeR <= sizeL  = balance y ly (join x ry r)
-  | otherwise             = bin x l r
-
-
--- insertMin and insertMax don't perform potentially expensive comparisons.
-insertMax,insertMin :: a -> Set a -> Set a 
-insertMax x t
-  = case t of
-      Tip -> singleton x
-      Bin _ y l r
-          -> balance y l (insertMax x r)
-             
-insertMin x t
-  = case t of
-      Tip -> singleton x
-      Bin _ y l r
-          -> balance y (insertMin x l) r
-             
-{--------------------------------------------------------------------
-  [merge l r]: merges two trees.
---------------------------------------------------------------------}
-merge :: Set a -> Set a -> Set a
-merge Tip r   = r
-merge l Tip   = l
-merge l@(Bin sizeL x lx rx) r@(Bin sizeR y ly ry)
-  | delta*sizeL <= sizeR = balance y (merge l ly) ry
-  | delta*sizeR <= sizeL = balance x lx (merge rx r)
-  | otherwise            = glue l r
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [glue l r]: glues two trees together.
-  Assumes that [l] and [r] are already balanced with respect to each other.
---------------------------------------------------------------------}
-glue :: Set a -> Set a -> Set a
-glue Tip r = r
-glue l Tip = l
-glue l r   
-  | size l > size r = let (m,l') = deleteFindMax l in balance m l' r
-  | otherwise       = let (m,r') = deleteFindMin r in balance m l r'
-
-
--- | /O(log n)/. Delete and find the minimal element.
--- 
--- > deleteFindMin set = (findMin set, deleteMin set)
-
-deleteFindMin :: Set a -> (a,Set a)
-deleteFindMin t 
-  = case t of
-      Bin _ x Tip r -> (x,r)
-      Bin _ x l r   -> let (xm,l') = deleteFindMin l in (xm,balance x l' r)
-      Tip           -> (error "Set.deleteFindMin: can not return the minimal element of an empty set", Tip)
-
--- | /O(log n)/. Delete and find the maximal element.
--- 
--- > deleteFindMax set = (findMax set, deleteMax set)
-deleteFindMax :: Set a -> (a,Set a)
-deleteFindMax t
-  = case t of
-      Bin _ x l Tip -> (x,l)
-      Bin _ x l r   -> let (xm,r') = deleteFindMax r in (xm,balance x l r')
-      Tip           -> (error "Set.deleteFindMax: can not return the maximal element of an empty set", Tip)
-
--- | /O(log n)/. Retrieves the minimal key of the set, and the set
--- stripped of that element, or 'Nothing' if passed an empty set.
-minView :: Set a -> Maybe (a, Set a)
-minView Tip = Nothing
-minView x = Just (deleteFindMin x)
-
--- | /O(log n)/. Retrieves the maximal key of the set, and the set
--- stripped of that element, or 'Nothing' if passed an empty set.
-maxView :: Set a -> Maybe (a, Set a)
-maxView Tip = Nothing
-maxView x = Just (deleteFindMax x)
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [balance x l r] balances two trees with value x.
-  The sizes of the trees should balance after decreasing the
-  size of one of them. (a rotation).
-
-  [delta] is the maximal relative difference between the sizes of
-          two trees, it corresponds with the [w] in Adams' paper,
-          or equivalently, [1/delta] corresponds with the $\alpha$
-          in Nievergelt's paper. Adams shows that [delta] should
-          be larger than 3.745 in order to garantee that the
-          rotations can always restore balance.         
-
-  [ratio] is the ratio between an outer and inner sibling of the
-          heavier subtree in an unbalanced setting. It determines
-          whether a double or single rotation should be performed
-          to restore balance. It is correspondes with the inverse
-          of $\alpha$ in Adam's article.
-
-  Note that:
-  - [delta] should be larger than 4.646 with a [ratio] of 2.
-  - [delta] should be larger than 3.745 with a [ratio] of 1.534.
-  
-  - A lower [delta] leads to a more 'perfectly' balanced tree.
-  - A higher [delta] performs less rebalancing.
-
-  - Balancing is automatic for random data and a balancing
-    scheme is only necessary to avoid pathological worst cases.
-    Almost any choice will do in practice
-    
-  - Allthough it seems that a rather large [delta] may perform better 
-    than smaller one, measurements have shown that the smallest [delta]
-    of 4 is actually the fastest on a wide range of operations. It
-    especially improves performance on worst-case scenarios like
-    a sequence of ordered insertions.
-
-  Note: in contrast to Adams' paper, we use a ratio of (at least) 2
-  to decide whether a single or double rotation is needed. Allthough
-  he actually proves that this ratio is needed to maintain the
-  invariants, his implementation uses a (invalid) ratio of 1. 
-  He is aware of the problem though since he has put a comment in his 
-  original source code that he doesn't care about generating a 
-  slightly inbalanced tree since it doesn't seem to matter in practice. 
-  However (since we use quickcheck :-) we will stick to strictly balanced 
-  trees.
---------------------------------------------------------------------}
-delta,ratio :: Int
-delta = 4
-ratio = 2
-
-balance :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-balance x l r
-  | sizeL + sizeR <= 1    = Bin sizeX x l r
-  | sizeR >= delta*sizeL  = rotateL x l r
-  | sizeL >= delta*sizeR  = rotateR x l r
-  | otherwise             = Bin sizeX x l r
-  where
-    sizeL = size l
-    sizeR = size r
-    sizeX = sizeL + sizeR + 1
-
--- rotate
-rotateL :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-rotateL x l r@(Bin _ _ ly ry)
-  | size ly < ratio*size ry = singleL x l r
-  | otherwise               = doubleL x l r
-rotateL _ _ Tip = error "rotateL Tip"
-
-rotateR :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-rotateR x l@(Bin _ _ ly ry) r
-  | size ry < ratio*size ly = singleR x l r
-  | otherwise               = doubleR x l r
-rotateR _ Tip _ = error "rotateL Tip"
-
--- basic rotations
-singleL, singleR :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-singleL x1 t1 (Bin _ x2 t2 t3)  = bin x2 (bin x1 t1 t2) t3
-singleL _  _  Tip               = error "singleL"
-singleR x1 (Bin _ x2 t1 t2) t3  = bin x2 t1 (bin x1 t2 t3)
-singleR _  Tip              _   = error "singleR"
-
-doubleL, doubleR :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-doubleL x1 t1 (Bin _ x2 (Bin _ x3 t2 t3) t4) = bin x3 (bin x1 t1 t2) (bin x2 t3 t4)
-doubleL _ _ _ = error "doubleL"
-doubleR x1 (Bin _ x2 t1 (Bin _ x3 t2 t3)) t4 = bin x3 (bin x2 t1 t2) (bin x1 t3 t4)
-doubleR _ _ _ = error "doubleR"
-
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  The bin constructor maintains the size of the tree
---------------------------------------------------------------------}
-bin :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-bin x l r
-  = Bin (size l + size r + 1) x l r
-
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Utilities
---------------------------------------------------------------------}
-foldlStrict :: (a -> b -> a) -> a -> [b] -> a
-foldlStrict f = go
-  where
-    go z []     = z
-    go z (x:xs) = z `seq` go (f z x) xs
-{-# INLINE foldlStrict #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Debugging
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Show the tree that implements the set. The tree is shown
--- in a compressed, hanging format.
-showTree :: Show a => Set a -> String
-showTree s
-  = showTreeWith True False s
-
-
-{- | /O(n)/. The expression (@showTreeWith hang wide map@) shows
- the tree that implements the set. If @hang@ is
- @True@, a /hanging/ tree is shown otherwise a rotated tree is shown. If
- @wide@ is 'True', an extra wide version is shown.
-
-> Set> putStrLn $ showTreeWith True False $ fromDistinctAscList [1..5]
-> 4
-> +--2
-> |  +--1
-> |  +--3
-> +--5
-> 
-> Set> putStrLn $ showTreeWith True True $ fromDistinctAscList [1..5]
-> 4
-> |
-> +--2
-> |  |
-> |  +--1
-> |  |
-> |  +--3
-> |
-> +--5
-> 
-> Set> putStrLn $ showTreeWith False True $ fromDistinctAscList [1..5]
-> +--5
-> |
-> 4
-> |
-> |  +--3
-> |  |
-> +--2
->    |
->    +--1
-
--}
-showTreeWith :: Show a => Bool -> Bool -> Set a -> String
-showTreeWith hang wide t
-  | hang      = (showsTreeHang wide [] t) ""
-  | otherwise = (showsTree wide [] [] t) ""
-
-showsTree :: Show a => Bool -> [String] -> [String] -> Set a -> ShowS
-showsTree wide lbars rbars t
-  = case t of
-      Tip -> showsBars lbars . showString "|\n"
-      Bin _ x Tip Tip
-          -> showsBars lbars . shows x . showString "\n" 
-      Bin _ x l r
-          -> showsTree wide (withBar rbars) (withEmpty rbars) r .
-             showWide wide rbars .
-             showsBars lbars . shows x . showString "\n" .
-             showWide wide lbars .
-             showsTree wide (withEmpty lbars) (withBar lbars) l
-
-showsTreeHang :: Show a => Bool -> [String] -> Set a -> ShowS
-showsTreeHang wide bars t
-  = case t of
-      Tip -> showsBars bars . showString "|\n" 
-      Bin _ x Tip Tip
-          -> showsBars bars . shows x . showString "\n" 
-      Bin _ x l r
-          -> showsBars bars . shows x . showString "\n" . 
-             showWide wide bars .
-             showsTreeHang wide (withBar bars) l .
-             showWide wide bars .
-             showsTreeHang wide (withEmpty bars) r
-
-showWide :: Bool -> [String] -> String -> String
-showWide wide bars 
-  | wide      = showString (concat (reverse bars)) . showString "|\n" 
-  | otherwise = id
-
-showsBars :: [String] -> ShowS
-showsBars bars
-  = case bars of
-      [] -> id
-      _  -> showString (concat (reverse (tail bars))) . showString node
-
-node :: String
-node           = "+--"
-
-withBar, withEmpty :: [String] -> [String]
-withBar bars   = "|  ":bars
-withEmpty bars = "   ":bars
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Assertions
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Test if the internal set structure is valid.
-valid :: Ord a => Set a -> Bool
-valid t
-  = balanced t && ordered t && validsize t
-
-ordered :: Ord a => Set a -> Bool
-ordered t
-  = bounded (const True) (const True) t
-  where
-    bounded lo hi t'
-      = case t' of
-          Tip         -> True
-          Bin _ x l r -> (lo x) && (hi x) && bounded lo (<x) l && bounded (>x) hi r
-
-balanced :: Set a -> Bool
-balanced t
-  = case t of
-      Tip         -> True
-      Bin _ _ l r -> (size l + size r <= 1 || (size l <= delta*size r && size r <= delta*size l)) &&
-                     balanced l && balanced r
-
-validsize :: Set a -> Bool
-validsize t
-  = (realsize t == Just (size t))
-  where
-    realsize t'
-      = case t' of
-          Tip          -> Just 0
-          Bin sz _ l r -> case (realsize l,realsize r) of
-                            (Just n,Just m)  | n+m+1 == sz  -> Just sz
-                            _                -> Nothing
+-- Here are some examples that illustrate the property:
+--
+-- > delete undefined s  ==  undefined