Add powerSet to Data.Set
[packages/containers.git] / Data / Set.hs
index 17f4d8f..bf19d2a 100644 (file)
@@ -1,17 +1,16 @@
 {-# LANGUAGE CPP #-}
-#if __GLASGOW_HASKELL__
-{-# LANGUAGE DeriveDataTypeable, StandaloneDeriving #-}
-#endif
 #if !defined(TESTING) && __GLASGOW_HASKELL__ >= 703
-{-# LANGUAGE Trustworthy #-}
+{-# LANGUAGE Safe #-}
 #endif
+
+#include "containers.h"
+
 -----------------------------------------------------------------------------
 -- |
 -- Module      :  Data.Set
 -- Copyright   :  (c) Daan Leijen 2002
 -- License     :  BSD-style
 -- Maintainer  :  libraries@haskell.org
--- Stability   :  provisional
 -- Portability :  portable
 --
 -- An efficient implementation of sets.
 --    * Stephen Adams, \"/Efficient sets: a balancing act/\",
 --      Journal of Functional Programming 3(4):553-562, October 1993,
 --      <http://www.swiss.ai.mit.edu/~adams/BB/>.
---
 --    * J. Nievergelt and E.M. Reingold,
 --      \"/Binary search trees of bounded balance/\",
 --      SIAM journal of computing 2(1), March 1973.
 --
+--  Bounds for 'union', 'intersection', and 'difference' are as given
+--  by
+--
+--    * Guy Blelloch, Daniel Ferizovic, and Yihan Sun,
+--      \"/Just Join for Parallel Ordered Sets/\",
+--      <https://arxiv.org/abs/1602.02120v3>.
+--
 -- Note that the implementation is /left-biased/ -- the elements of a
 -- first argument are always preferred to the second, for example in
 -- 'union' or 'insert'.  Of course, left-biasing can only be observed
 -- when equality is an equivalence relation instead of structural
 -- equality.
------------------------------------------------------------------------------
-
--- It is crucial to the performance that the functions specialize on the Ord
--- type when possible. GHC 7.0 and higher does this by itself when it sees th
--- unfolding of a function -- that is why all public functions are marked
--- INLINABLE (that exposes the unfolding).
---
--- For other compilers and GHC pre 7.0, we mark some of the functions INLINE.
--- We mark the functions that just navigate down the tree (lookup, insert,
--- delete and similar). That navigation code gets inlined and thus specialized
--- when possible. There is a price to pay -- code growth. The code INLINED is
--- therefore only the tree navigation, all the real work (rebalancing) is not
--- INLINED by using a NOINLINE.
 --
--- All methods that can be INLINE are not recursive -- a 'go' function doing
--- the real work is provided.
+-- /Warning/: The size of the set must not exceed @maxBound::Int@. Violation of
+-- this condition is not detected and if the size limit is exceeded, its
+-- behaviour is undefined.
+-----------------------------------------------------------------------------
 
 module Data.Set (
             -- * Strictness properties
@@ -70,10 +64,14 @@ module Data.Set (
             , (\\)
 
             -- * Query
-            , null
+            , S.null
             , size
             , member
             , notMember
+            , lookupLT
+            , lookupGT
+            , lookupLE
+            , lookupGE
             , isSubsetOf
             , isProperSubsetOf
 
@@ -82,6 +80,7 @@ module Data.Set (
             , singleton
             , insert
             , delete
+            , powerSet
 
             -- * Combine
             , union
@@ -90,18 +89,31 @@ module Data.Set (
             , intersection
 
             -- * Filter
-            , filter
+            , S.filter
+            , takeWhileAntitone
+            , dropWhileAntitone
+            , spanAntitone
             , partition
             , split
             , splitMember
+            , splitRoot
+
+            -- * Indexed
+            , lookupIndex
+            , findIndex
+            , elemAt
+            , deleteAt
+            , S.take
+            , S.drop
+            , S.splitAt
 
             -- * Map
-            , map
+            , S.map
             , mapMonotonic
 
             -- * Folds
-            , foldr
-            , foldl
+            , S.foldr
+            , S.foldl
             -- ** Strict folds
             , foldr'
             , foldl'
@@ -109,6 +121,8 @@ module Data.Set (
             , fold
 
             -- * Min\/Max
+            , lookupMin
+            , lookupMax
             , findMin
             , findMax
             , deleteMin
@@ -127,8 +141,11 @@ module Data.Set (
 
             -- ** Ordered list
             , toAscList
+            , toDescList
             , fromAscList
+            , fromDescList
             , fromDistinctAscList
+            , fromDistinctDescList
 
             -- * Debugging
             , showTree
@@ -139,29 +156,12 @@ module Data.Set (
             -- Internals (for testing)
             , bin
             , balanced
-            , join
+            , link
             , merge
 #endif
             ) where
 
-import Prelude hiding (filter,foldl,foldr,null,map)
-import qualified Data.List as List
-import Data.Monoid (Monoid(..))
-import qualified Data.Foldable as Foldable
-import Data.Typeable
-import Control.DeepSeq (NFData(rnf))
-
-#if __GLASGOW_HASKELL__
-import GHC.Exts ( build )
-import Text.Read
-import Data.Data
-#endif
-
--- Use macros to define strictness of functions.
--- STRICT_x_OF_y denotes an y-ary function strict in the x-th parameter.
--- We do not use BangPatterns, because they are not in any standard and we
--- want the compilers to be compiled by as many compilers as possible.
-#define STRICT_1_OF_2(fn) fn arg _ | arg `seq` False = undefined
+import Data.Set.Internal as S
 
 -- $strictness
 --
@@ -172,1118 +172,3 @@ import Data.Data
 -- Here are some examples that illustrate the property:
 --
 -- > delete undefined s  ==  undefined
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Operators
---------------------------------------------------------------------}
-infixl 9 \\ --
-
--- | /O(n+m)/. See 'difference'.
-(\\) :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-m1 \\ m2 = difference m1 m2
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE (\\) #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Sets are size balanced trees
---------------------------------------------------------------------}
--- | A set of values @a@.
-data Set a    = Tip
-              | Bin {-# UNPACK #-} !Size !a !(Set a) !(Set a)
-
-type Size     = Int
-
-instance Ord a => Monoid (Set a) where
-    mempty  = empty
-    mappend = union
-    mconcat = unions
-
-instance Foldable.Foldable Set where
-    fold Tip = mempty
-    fold (Bin _ k l r) = Foldable.fold l `mappend` k `mappend` Foldable.fold r
-    foldr = foldr
-    foldl = foldl
-    foldMap _ Tip = mempty
-    foldMap f (Bin _ k l r) = Foldable.foldMap f l `mappend` f k `mappend` Foldable.foldMap f r
-
-#if __GLASGOW_HASKELL__
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  A Data instance
---------------------------------------------------------------------}
-
--- This instance preserves data abstraction at the cost of inefficiency.
--- We omit reflection services for the sake of data abstraction.
-
-instance (Data a, Ord a) => Data (Set a) where
-  gfoldl f z set = z fromList `f` (toList set)
-  toConstr _     = error "toConstr"
-  gunfold _ _    = error "gunfold"
-  dataTypeOf _   = mkNoRepType "Data.Set.Set"
-  dataCast1 f    = gcast1 f
-
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Query
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(1)/. Is this the empty set?
-null :: Set a -> Bool
-null Tip      = True
-null (Bin {}) = False
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE null #-}
-#endif
-
--- | /O(1)/. The number of elements in the set.
-size :: Set a -> Int
-size Tip = 0
-size (Bin sz _ _ _) = sz
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE size #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Is the element in the set?
-member :: Ord a => a -> Set a -> Bool
-member = go
-  where
-    STRICT_1_OF_2(go)
-    go _ Tip = False
-    go x (Bin _ y l r) = case compare x y of
-          LT -> go x l
-          GT -> go x r
-          EQ -> True
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE member #-}
-#else
-{-# INLINE member #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Is the element not in the set?
-notMember :: Ord a => a -> Set a -> Bool
-notMember a t = not $ member a t
-{-# INLINE notMember #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Construction
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(1)/. The empty set.
-empty  :: Set a
-empty = Tip
-
--- | /O(1)/. Create a singleton set.
-singleton :: a -> Set a
-singleton x = Bin 1 x Tip Tip
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Insertion, Deletion
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(log n)/. Insert an element in a set.
--- If the set already contains an element equal to the given value,
--- it is replaced with the new value.
-insert :: Ord a => a -> Set a -> Set a
-insert = go
-  where
-    STRICT_1_OF_2(go)
-    go x Tip = singleton x
-    go x (Bin sz y l r) = case compare x y of
-        LT -> balanceL y (go x l) r
-        GT -> balanceR y l (go x r)
-        EQ -> Bin sz x l r
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINEABLE insert #-}
-#else
-{-# INLINE insert #-}
-#endif
-
--- Insert an element to the set only if it is not in the set. Used by
--- `union`.
-insertR :: Ord a => a -> Set a -> Set a
-insertR = go
-  where
-    STRICT_1_OF_2(go)
-    go x Tip = singleton x
-    go x t@(Bin _ y l r) = case compare x y of
-        LT -> balanceL y (go x l) r
-        GT -> balanceR y l (go x r)
-        EQ -> t
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINEABLE insertR #-}
-#else
-{-# INLINE insertR #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Delete an element from a set.
-delete :: Ord a => a -> Set a -> Set a
-delete = go
-  where
-    STRICT_1_OF_2(go)
-    go _ Tip = Tip
-    go x (Bin _ y l r) = case compare x y of
-        LT -> balanceR y (go x l) r
-        GT -> balanceL y l (go x r)
-        EQ -> glue l r
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINEABLE delete #-}
-#else
-{-# INLINE delete #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Subset
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n+m)/. Is this a proper subset? (ie. a subset but not equal).
-isProperSubsetOf :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool
-isProperSubsetOf s1 s2
-    = (size s1 < size s2) && (isSubsetOf s1 s2)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE isProperSubsetOf #-}
-#endif
-
-
--- | /O(n+m)/. Is this a subset?
--- @(s1 `isSubsetOf` s2)@ tells whether @s1@ is a subset of @s2@.
-isSubsetOf :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool
-isSubsetOf t1 t2
-  = (size t1 <= size t2) && (isSubsetOfX t1 t2)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE isSubsetOf #-}
-#endif
-
-isSubsetOfX :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool
-isSubsetOfX Tip _ = True
-isSubsetOfX _ Tip = False
-isSubsetOfX (Bin _ x l r) t
-  = found && isSubsetOfX l lt && isSubsetOfX r gt
-  where
-    (lt,found,gt) = splitMember x t
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE isSubsetOfX #-}
-#endif
-
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Minimal, Maximal
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(log n)/. The minimal element of a set.
-findMin :: Set a -> a
-findMin (Bin _ x Tip _) = x
-findMin (Bin _ _ l _)   = findMin l
-findMin Tip             = error "Set.findMin: empty set has no minimal element"
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE findMin #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. The maximal element of a set.
-findMax :: Set a -> a
-findMax (Bin _ x _ Tip)  = x
-findMax (Bin _ _ _ r)    = findMax r
-findMax Tip              = error "Set.findMax: empty set has no maximal element"
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE findMax #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Delete the minimal element.
-deleteMin :: Set a -> Set a
-deleteMin (Bin _ _ Tip r) = r
-deleteMin (Bin _ x l r)   = balanceR x (deleteMin l) r
-deleteMin Tip             = Tip
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE deleteMin #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Delete the maximal element.
-deleteMax :: Set a -> Set a
-deleteMax (Bin _ _ l Tip) = l
-deleteMax (Bin _ x l r)   = balanceL x l (deleteMax r)
-deleteMax Tip             = Tip
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE deleteMax #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Union.
---------------------------------------------------------------------}
--- | The union of a list of sets: (@'unions' == 'foldl' 'union' 'empty'@).
-unions :: Ord a => [Set a] -> Set a
-unions = foldlStrict union empty
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE unions #-}
-#endif
-
--- | /O(n+m)/. The union of two sets, preferring the first set when
--- equal elements are encountered.
--- The implementation uses the efficient /hedge-union/ algorithm.
--- Hedge-union is more efficient on (bigset `union` smallset).
-union :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-union Tip t2  = t2
-union t1 Tip  = t1
-union (Bin _ x Tip Tip) t = insert x t
-union t (Bin _ x Tip Tip) = insertR x t
-union t1 t2 = hedgeUnion NothingS NothingS t1 t2
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE union #-}
-#endif
-
-hedgeUnion :: Ord a
-           => MaybeS a -> MaybeS a -> Set a -> Set a -> Set a
-hedgeUnion _     _     t1 Tip
-  = t1
-hedgeUnion blo bhi Tip (Bin _ x l r)
-  = join x (filterGt blo l) (filterLt bhi r)
-hedgeUnion blo bhi (Bin _ x l r) t2
-  = join x (hedgeUnion blo bmi l (trim blo bmi t2))
-           (hedgeUnion bmi bhi r (trim bmi bhi t2))
-  where
-    bmi = JustS x
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE hedgeUnion #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Difference
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n+m)/. Difference of two sets.
--- The implementation uses an efficient /hedge/ algorithm comparable with /hedge-union/.
-difference :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-difference Tip _   = Tip
-difference t1 Tip  = t1
-difference t1 t2   = hedgeDiff NothingS NothingS t1 t2
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE difference #-}
-#endif
-
-hedgeDiff :: Ord a
-          => MaybeS a -> MaybeS a -> Set a -> Set a -> Set a
-hedgeDiff _ _ Tip _
-  = Tip
-hedgeDiff blo bhi (Bin _ x l r) Tip
-  = join x (filterGt blo l) (filterLt bhi r)
-hedgeDiff blo bhi t (Bin _ x l r)
-  = merge (hedgeDiff blo bmi (trim blo bmi t) l)
-          (hedgeDiff bmi bhi (trim bmi bhi t) r)
-  where
-    bmi = JustS x
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE hedgeDiff #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Intersection
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n+m)/. The intersection of two sets.
--- Elements of the result come from the first set, so for example
---
--- > import qualified Data.Set as S
--- > data AB = A | B deriving Show
--- > instance Ord AB where compare _ _ = EQ
--- > instance Eq AB where _ == _ = True
--- > main = print (S.singleton A `S.intersection` S.singleton B,
--- >               S.singleton B `S.intersection` S.singleton A)
---
--- prints @(fromList [A],fromList [B])@.
-intersection :: Ord a => Set a -> Set a -> Set a
-intersection Tip _ = Tip
-intersection _ Tip = Tip
-intersection t1@(Bin s1 x1 l1 r1) t2@(Bin s2 x2 l2 r2) =
-   if s1 >= s2 then
-      let (lt,found,gt) = splitLookup x2 t1
-          tl            = intersection lt l2
-          tr            = intersection gt r2
-      in case found of
-      Just x -> join x tl tr
-      Nothing -> merge tl tr
-   else let (lt,found,gt) = splitMember x1 t2
-            tl            = intersection l1 lt
-            tr            = intersection r1 gt
-        in if found then join x1 tl tr
-           else merge tl tr
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE intersection #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Filter and partition
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Filter all elements that satisfy the predicate.
-filter :: Ord a => (a -> Bool) -> Set a -> Set a
-filter _ Tip = Tip
-filter p (Bin _ x l r)
-    | p x       = join x (filter p l) (filter p r)
-    | otherwise = merge (filter p l) (filter p r)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE filter #-}
-#endif
-
--- | /O(n)/. Partition the set into two sets, one with all elements that satisfy
--- the predicate and one with all elements that don't satisfy the predicate.
--- See also 'split'.
-partition :: Ord a => (a -> Bool) -> Set a -> (Set a,Set a)
-partition _ Tip = (Tip, Tip)
-partition p (Bin _ x l r) = case (partition p l, partition p r) of
-  ((l1, l2), (r1, r2))
-    | p x       -> (join x l1 r1, merge l2 r2)
-    | otherwise -> (merge l1 r1, join x l2 r2)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE partition #-}
-#endif
-
-{----------------------------------------------------------------------
-  Map
-----------------------------------------------------------------------}
-
--- | /O(n*log n)/.
--- @'map' f s@ is the set obtained by applying @f@ to each element of @s@.
---
--- It's worth noting that the size of the result may be smaller if,
--- for some @(x,y)@, @x \/= y && f x == f y@
-
-map :: (Ord a, Ord b) => (a->b) -> Set a -> Set b
-map f = fromList . List.map f . toList
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE map #-}
-#endif
-
--- | /O(n)/. The
---
--- @'mapMonotonic' f s == 'map' f s@, but works only when @f@ is monotonic.
--- /The precondition is not checked./
--- Semi-formally, we have:
---
--- > and [x < y ==> f x < f y | x <- ls, y <- ls]
--- >                     ==> mapMonotonic f s == map f s
--- >     where ls = toList s
-
-mapMonotonic :: (a->b) -> Set a -> Set b
-mapMonotonic _ Tip = Tip
-mapMonotonic f (Bin sz x l r) = Bin sz (f x) (mapMonotonic f l) (mapMonotonic f r)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE mapMonotonic #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Fold
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Fold the elements in the set using the given right-associative
--- binary operator. This function is an equivalent of 'foldr' and is present
--- for compatibility only.
---
--- /Please note that fold will be deprecated in the future and removed./
-fold :: (a -> b -> b) -> b -> Set a -> b
-fold = foldr
-{-# INLINE fold #-}
-
--- | /O(n)/. Fold the elements in the set using the given right-associative
--- binary operator, such that @'foldr' f z == 'Prelude.foldr' f z . 'toAscList'@.
---
--- For example,
---
--- > toAscList set = foldr (:) [] set
-foldr :: (a -> b -> b) -> b -> Set a -> b
-foldr f = go
-  where
-    go z Tip           = z
-    go z (Bin _ x l r) = go (f x (go z r)) l
-{-# INLINE foldr #-}
-
--- | /O(n)/. A strict version of 'foldr'. Each application of the operator is
--- evaluated before using the result in the next application. This
--- function is strict in the starting value.
-foldr' :: (a -> b -> b) -> b -> Set a -> b
-foldr' f = go
-  where
-    STRICT_1_OF_2(go)
-    go z Tip           = z
-    go z (Bin _ x l r) = go (f x (go z r)) l
-{-# INLINE foldr' #-}
-
--- | /O(n)/. Fold the elements in the set using the given left-associative
--- binary operator, such that @'foldl' f z == 'Prelude.foldl' f z . 'toAscList'@.
---
--- For example,
---
--- > toDescList set = foldl (flip (:)) [] set
-foldl :: (a -> b -> a) -> a -> Set b -> a
-foldl f = go
-  where
-    go z Tip           = z
-    go z (Bin _ x l r) = go (f (go z l) x) r
-{-# INLINE foldl #-}
-
--- | /O(n)/. A strict version of 'foldl'. Each application of the operator is
--- evaluated before using the result in the next application. This
--- function is strict in the starting value.
-foldl' :: (a -> b -> a) -> a -> Set b -> a
-foldl' f = go
-  where
-    STRICT_1_OF_2(go)
-    go z Tip           = z
-    go z (Bin _ x l r) = go (f (go z l) x) r
-{-# INLINE foldl' #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  List variations
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. An alias of 'toAscList'. The elements of a set in ascending order.
--- Subject to list fusion.
-elems :: Set a -> [a]
-elems = toAscList
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE elems #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Lists
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Convert the set to a list of elements. Subject to list fusion.
-toList :: Set a -> [a]
-toList = toAscList
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE toList #-}
-#endif
-
--- | /O(n)/. Convert the set to an ascending list of elements. Subject to list fusion.
-toAscList :: Set a -> [a]
-toAscList = foldr (:) []
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE toAscList #-}
-#endif
-
-#if __GLASGOW_HASKELL__
--- List fusion for the above three functions
-{-# RULES "Set/toList" forall s . toList s = build (\c n -> foldr c n s) #-}
-{-# RULES "Set/toAscList" forall s . toAscList s = build (\c n -> foldr c n s) #-}
-{-# RULES "Set/elems" forall s . elems s = build (\c n -> foldr c n s) #-}
-#endif
-
--- | /O(n*log n)/. Create a set from a list of elements.
-fromList :: Ord a => [a] -> Set a
-fromList = foldlStrict ins empty
-  where
-    ins t x = insert x t
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE fromList #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Building trees from ascending/descending lists can be done in linear time.
-
-  Note that if [xs] is ascending that:
-    fromAscList xs == fromList xs
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Build a set from an ascending list in linear time.
--- /The precondition (input list is ascending) is not checked./
-fromAscList :: Eq a => [a] -> Set a
-fromAscList xs
-  = fromDistinctAscList (combineEq xs)
-  where
-  -- [combineEq xs] combines equal elements with [const] in an ordered list [xs]
-  combineEq xs'
-    = case xs' of
-        []     -> []
-        [x]    -> [x]
-        (x:xx) -> combineEq' x xx
-
-  combineEq' z [] = [z]
-  combineEq' z (x:xs')
-    | z==x      =   combineEq' z xs'
-    | otherwise = z:combineEq' x xs'
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE fromAscList #-}
-#endif
-
-
--- | /O(n)/. Build a set from an ascending list of distinct elements in linear time.
--- /The precondition (input list is strictly ascending) is not checked./
-fromDistinctAscList :: [a] -> Set a
-fromDistinctAscList xs
-  = create const (length xs) xs
-  where
-    -- 1) use continutations so that we use heap space instead of stack space.
-    -- 2) special case for n==5 to create bushier trees.
-    create c 0 xs' = c Tip xs'
-    create c 5 xs' = case xs' of
-                       (x1:x2:x3:x4:x5:xx)
-                            -> c (bin x4 (bin x2 (singleton x1) (singleton x3)) (singleton x5)) xx
-                       _ -> error "fromDistinctAscList create 5"
-    create c n xs' = seq nr $ create (createR nr c) nl xs'
-      where nl = n `div` 2
-            nr = n - nl - 1
-
-    createR n c l (x:ys) = create (createB l x c) n ys
-    createR _ _ _ []     = error "fromDistinctAscList createR []"
-    createB l x c r zs   = c (bin x l r) zs
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE fromDistinctAscList #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Eq converts the set to a list. In a lazy setting, this
-  actually seems one of the faster methods to compare two trees
-  and it is certainly the simplest :-)
---------------------------------------------------------------------}
-instance Eq a => Eq (Set a) where
-  t1 == t2  = (size t1 == size t2) && (toAscList t1 == toAscList t2)
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Ord
---------------------------------------------------------------------}
-
-instance Ord a => Ord (Set a) where
-    compare s1 s2 = compare (toAscList s1) (toAscList s2)
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Show
---------------------------------------------------------------------}
-instance Show a => Show (Set a) where
-  showsPrec p xs = showParen (p > 10) $
-    showString "fromList " . shows (toList xs)
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Read
---------------------------------------------------------------------}
-instance (Read a, Ord a) => Read (Set a) where
-#ifdef __GLASGOW_HASKELL__
-  readPrec = parens $ prec 10 $ do
-    Ident "fromList" <- lexP
-    xs <- readPrec
-    return (fromList xs)
-
-  readListPrec = readListPrecDefault
-#else
-  readsPrec p = readParen (p > 10) $ \ r -> do
-    ("fromList",s) <- lex r
-    (xs,t) <- reads s
-    return (fromList xs,t)
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Typeable/Data
---------------------------------------------------------------------}
-
-#include "Typeable.h"
-INSTANCE_TYPEABLE1(Set,setTc,"Set")
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  NFData
---------------------------------------------------------------------}
-
-instance NFData a => NFData (Set a) where
-    rnf Tip           = ()
-    rnf (Bin _ y l r) = rnf y `seq` rnf l `seq` rnf r
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Utility functions that return sub-ranges of the original
-  tree. Some functions take a `Maybe value` as an argument to
-  allow comparisons against infinite values. These are called `blow`
-  (Nothing is -\infty) and `bhigh` (here Nothing is +\infty).
-  We use MaybeS value, which is a Maybe strict in the Just case.
-
-  [trim blow bhigh t]   A tree that is either empty or where [x > blow]
-                        and [x < bhigh] for the value [x] of the root.
-  [filterGt blow t]     A tree where for all values [k]. [k > blow]
-  [filterLt bhigh t]    A tree where for all values [k]. [k < bhigh]
-
-  [split k t]           Returns two trees [l] and [r] where all values
-                        in [l] are <[k] and all keys in [r] are >[k].
-  [splitMember k t]     Just like [split] but also returns whether [k]
-                        was found in the tree.
---------------------------------------------------------------------}
-
-data MaybeS a = NothingS | JustS !a
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [trim blo bhi t] trims away all subtrees that surely contain no
-  values between the range [blo] to [bhi]. The returned tree is either
-  empty or the key of the root is between @blo@ and @bhi@.
---------------------------------------------------------------------}
-trim :: Ord a => MaybeS a -> MaybeS a -> Set a -> Set a
-trim NothingS   NothingS   t = t
-trim (JustS lx) NothingS   t = greater lx t where greater lo (Bin _ x _ r) | x <= lo = greater lo r
-                                                  greater _  t' = t'
-trim NothingS   (JustS hx) t = lesser hx t  where lesser  hi (Bin _ x l _) | x >= hi = lesser  hi l
-                                                  lesser  _  t' = t'
-trim (JustS lx) (JustS hx) t = middle lx hx t  where middle lo hi (Bin _ x _ r) | x <= lo = middle lo hi r
-                                                     middle lo hi (Bin _ x l _) | x >= hi = middle lo hi l
-                                                     middle _  _  t' = t'
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE trim #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [filterGt b t] filter all values >[b] from tree [t]
-  [filterLt b t] filter all values <[b] from tree [t]
---------------------------------------------------------------------}
-filterGt :: Ord a => MaybeS a -> Set a -> Set a
-filterGt NothingS t = t
-filterGt (JustS b) t = filter' b t
-  where filter' _   Tip = Tip
-        filter' b' (Bin _ x l r) =
-          case compare b' x of LT -> join x (filter' b' l) r
-                               EQ -> r
-                               GT -> filter' b' r
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE filterGt #-}
-#endif
-
-filterLt :: Ord a => MaybeS a -> Set a -> Set a
-filterLt NothingS t = t
-filterLt (JustS b) t = filter' b t
-  where filter' _   Tip = Tip
-        filter' b' (Bin _ x l r) =
-          case compare x b' of LT -> join x l (filter' b' r)
-                               EQ -> l
-                               GT -> filter' b' l
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE filterLt #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Split
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(log n)/. The expression (@'split' x set@) is a pair @(set1,set2)@
--- where @set1@ comprises the elements of @set@ less than @x@ and @set2@
--- comprises the elements of @set@ greater than @x@.
-split :: Ord a => a -> Set a -> (Set a,Set a)
-split _ Tip = (Tip,Tip)
-split x (Bin _ y l r)
-  = case compare x y of
-      LT -> let (lt,gt) = split x l in (lt,join y gt r)
-      GT -> let (lt,gt) = split x r in (join y l lt,gt)
-      EQ -> (l,r)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE split #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Performs a 'split' but also returns whether the pivot
--- element was found in the original set.
-splitMember :: Ord a => a -> Set a -> (Set a,Bool,Set a)
-splitMember x t = let (l,m,r) = splitLookup x t in
-     (l,maybe False (const True) m,r)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE splitMember #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Performs a 'split' but also returns the pivot
--- element that was found in the original set.
-splitLookup :: Ord a => a -> Set a -> (Set a,Maybe a,Set a)
-splitLookup _ Tip = (Tip,Nothing,Tip)
-splitLookup x (Bin _ y l r)
-   = case compare x y of
-       LT -> let (lt,found,gt) = splitLookup x l in (lt,found,join y gt r)
-       GT -> let (lt,found,gt) = splitLookup x r in (join y l lt,found,gt)
-       EQ -> (l,Just y,r)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE splitLookup #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Utility functions that maintain the balance properties of the tree.
-  All constructors assume that all values in [l] < [x] and all values
-  in [r] > [x], and that [l] and [r] are valid trees.
-
-  In order of sophistication:
-    [Bin sz x l r]    The type constructor.
-    [bin x l r]       Maintains the correct size, assumes that both [l]
-                      and [r] are balanced with respect to each other.
-    [balance x l r]   Restores the balance and size.
-                      Assumes that the original tree was balanced and
-                      that [l] or [r] has changed by at most one element.
-    [join x l r]      Restores balance and size.
-
-  Furthermore, we can construct a new tree from two trees. Both operations
-  assume that all values in [l] < all values in [r] and that [l] and [r]
-  are valid:
-    [glue l r]        Glues [l] and [r] together. Assumes that [l] and
-                      [r] are already balanced with respect to each other.
-    [merge l r]       Merges two trees and restores balance.
-
-  Note: in contrast to Adam's paper, we use (<=) comparisons instead
-  of (<) comparisons in [join], [merge] and [balance].
-  Quickcheck (on [difference]) showed that this was necessary in order
-  to maintain the invariants. It is quite unsatisfactory that I haven't
-  been able to find out why this is actually the case! Fortunately, it
-  doesn't hurt to be a bit more conservative.
---------------------------------------------------------------------}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Join
---------------------------------------------------------------------}
-join :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-join x Tip r  = insertMin x r
-join x l Tip  = insertMax x l
-join x l@(Bin sizeL y ly ry) r@(Bin sizeR z lz rz)
-  | delta*sizeL < sizeR  = balanceL z (join x l lz) rz
-  | delta*sizeR < sizeL  = balanceR y ly (join x ry r)
-  | otherwise            = bin x l r
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE join #-}
-#endif
-
-
--- insertMin and insertMax don't perform potentially expensive comparisons.
-insertMax,insertMin :: a -> Set a -> Set a
-insertMax x t
-  = case t of
-      Tip -> singleton x
-      Bin _ y l r
-          -> balanceR y l (insertMax x r)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE insertMax #-}
-#endif
-
-insertMin x t
-  = case t of
-      Tip -> singleton x
-      Bin _ y l r
-          -> balanceL y (insertMin x l) r
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE insertMin #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [merge l r]: merges two trees.
---------------------------------------------------------------------}
-merge :: Set a -> Set a -> Set a
-merge Tip r   = r
-merge l Tip   = l
-merge l@(Bin sizeL x lx rx) r@(Bin sizeR y ly ry)
-  | delta*sizeL < sizeR = balanceL y (merge l ly) ry
-  | delta*sizeR < sizeL = balanceR x lx (merge rx r)
-  | otherwise           = glue l r
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE merge #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [glue l r]: glues two trees together.
-  Assumes that [l] and [r] are already balanced with respect to each other.
---------------------------------------------------------------------}
-glue :: Set a -> Set a -> Set a
-glue Tip r = r
-glue l Tip = l
-glue l r
-  | size l > size r = let (m,l') = deleteFindMax l in balanceR m l' r
-  | otherwise       = let (m,r') = deleteFindMin r in balanceL m l r'
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE glue #-}
-#endif
-
-
--- | /O(log n)/. Delete and find the minimal element.
---
--- > deleteFindMin set = (findMin set, deleteMin set)
-
-deleteFindMin :: Set a -> (a,Set a)
-deleteFindMin t
-  = case t of
-      Bin _ x Tip r -> (x,r)
-      Bin _ x l r   -> let (xm,l') = deleteFindMin l in (xm,balanceR x l' r)
-      Tip           -> (error "Set.deleteFindMin: can not return the minimal element of an empty set", Tip)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE deleteFindMin #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Delete and find the maximal element.
---
--- > deleteFindMax set = (findMax set, deleteMax set)
-deleteFindMax :: Set a -> (a,Set a)
-deleteFindMax t
-  = case t of
-      Bin _ x l Tip -> (x,l)
-      Bin _ x l r   -> let (xm,r') = deleteFindMax r in (xm,balanceL x l r')
-      Tip           -> (error "Set.deleteFindMax: can not return the maximal element of an empty set", Tip)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE deleteFindMax #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Retrieves the minimal key of the set, and the set
--- stripped of that element, or 'Nothing' if passed an empty set.
-minView :: Set a -> Maybe (a, Set a)
-minView Tip = Nothing
-minView x = Just (deleteFindMin x)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE minView #-}
-#endif
-
--- | /O(log n)/. Retrieves the maximal key of the set, and the set
--- stripped of that element, or 'Nothing' if passed an empty set.
-maxView :: Set a -> Maybe (a, Set a)
-maxView Tip = Nothing
-maxView x = Just (deleteFindMax x)
-#if __GLASGOW_HASKELL__ >= 700
-{-# INLINABLE maxView #-}
-#endif
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  [balance x l r] balances two trees with value x.
-  The sizes of the trees should balance after decreasing the
-  size of one of them. (a rotation).
-
-  [delta] is the maximal relative difference between the sizes of
-          two trees, it corresponds with the [w] in Adams' paper.
-  [ratio] is the ratio between an outer and inner sibling of the
-          heavier subtree in an unbalanced setting. It determines
-          whether a double or single rotation should be performed
-          to restore balance. It is correspondes with the inverse
-          of $\alpha$ in Adam's article.
-
-  Note that according to the Adam's paper:
-  - [delta] should be larger than 4.646 with a [ratio] of 2.
-  - [delta] should be larger than 3.745 with a [ratio] of 1.534.
-
-  But the Adam's paper is errorneous:
-  - it can be proved that for delta=2 and delta>=5 there does
-    not exist any ratio that would work
-  - delta=4.5 and ratio=2 does not work
-
-  That leaves two reasonable variants, delta=3 and delta=4,
-  both with ratio=2.
-
-  - A lower [delta] leads to a more 'perfectly' balanced tree.
-  - A higher [delta] performs less rebalancing.
-
-  In the benchmarks, delta=3 is faster on insert operations,
-  and delta=4 has slightly better deletes. As the insert speedup
-  is larger, we currently use delta=3.
-
---------------------------------------------------------------------}
-delta,ratio :: Int
-delta = 3
-ratio = 2
-
--- The balance function is equivalent to the following:
---
---   balance :: a -> Set a -> Set a -> Set a
---   balance x l r
---     | sizeL + sizeR <= 1   = Bin sizeX x l r
---     | sizeR > delta*sizeL  = rotateL x l r
---     | sizeL > delta*sizeR  = rotateR x l r
---     | otherwise            = Bin sizeX x l r
---     where
---       sizeL = size l
---       sizeR = size r
---       sizeX = sizeL + sizeR + 1
---
---   rotateL :: a -> Set a -> Set a -> Set a
---   rotateL x l r@(Bin _ _ ly ry) | size ly < ratio*size ry = singleL x l r
---                                 | otherwise               = doubleL x l r
---   rotateR :: a -> Set a -> Set a -> Set a
---   rotateR x l@(Bin _ _ ly ry) r | size ry < ratio*size ly = singleR x l r
---                                 | otherwise               = doubleR x l r
---
---   singleL, singleR :: a -> Set a -> Set a -> Set a
---   singleL x1 t1 (Bin _ x2 t2 t3)  = bin x2 (bin x1 t1 t2) t3
---   singleR x1 (Bin _ x2 t1 t2) t3  = bin x2 t1 (bin x1 t2 t3)
---
---   doubleL, doubleR :: a -> Set a -> Set a -> Set a
---   doubleL x1 t1 (Bin _ x2 (Bin _ x3 t2 t3) t4) = bin x3 (bin x1 t1 t2) (bin x2 t3 t4)
---   doubleR x1 (Bin _ x2 t1 (Bin _ x3 t2 t3)) t4 = bin x3 (bin x2 t1 t2) (bin x1 t3 t4)
---
--- It is only written in such a way that every node is pattern-matched only once.
---
--- Only balanceL and balanceR are needed at the moment, so balance is not here anymore.
--- In case it is needed, it can be found in Data.Map.
-
--- Functions balanceL and balanceR are specialised versions of balance.
--- balanceL only checks whether the left subtree is too big,
--- balanceR only checks whether the right subtree is too big.
-
--- balanceL is called when left subtree might have been inserted to or when
--- right subtree might have been deleted from.
-balanceL :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-balanceL x l r = case r of
-  Tip -> case l of
-           Tip -> Bin 1 x Tip Tip
-           (Bin _ _ Tip Tip) -> Bin 2 x l Tip
-           (Bin _ lx Tip (Bin _ lrx _ _)) -> Bin 3 lrx (Bin 1 lx Tip Tip) (Bin 1 x Tip Tip)
-           (Bin _ lx ll@(Bin _ _ _ _) Tip) -> Bin 3 lx ll (Bin 1 x Tip Tip)
-           (Bin ls lx ll@(Bin lls _ _ _) lr@(Bin lrs lrx lrl lrr))
-             | lrs < ratio*lls -> Bin (1+ls) lx ll (Bin (1+lrs) x lr Tip)
-             | otherwise -> Bin (1+ls) lrx (Bin (1+lls+size lrl) lx ll lrl) (Bin (1+size lrr) x lrr Tip)
-
-  (Bin rs _ _ _) -> case l of
-           Tip -> Bin (1+rs) x Tip r
-
-           (Bin ls lx ll lr)
-              | ls > delta*rs  -> case (ll, lr) of
-                   (Bin lls _ _ _, Bin lrs lrx lrl lrr)
-                     | lrs < ratio*lls -> Bin (1+ls+rs) lx ll (Bin (1+rs+lrs) x lr r)
-                     | otherwise -> Bin (1+ls+rs) lrx (Bin (1+lls+size lrl) lx ll lrl) (Bin (1+rs+size lrr) x lrr r)
-                   (_, _) -> error "Failure in Data.Map.balanceL"
-              | otherwise -> Bin (1+ls+rs) x l r
-{-# NOINLINE balanceL #-}
-
--- balanceR is called when right subtree might have been inserted to or when
--- left subtree might have been deleted from.
-balanceR :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-balanceR x l r = case l of
-  Tip -> case r of
-           Tip -> Bin 1 x Tip Tip
-           (Bin _ _ Tip Tip) -> Bin 2 x Tip r
-           (Bin _ rx Tip rr@(Bin _ _ _ _)) -> Bin 3 rx (Bin 1 x Tip Tip) rr
-           (Bin _ rx (Bin _ rlx _ _) Tip) -> Bin 3 rlx (Bin 1 x Tip Tip) (Bin 1 rx Tip Tip)
-           (Bin rs rx rl@(Bin rls rlx rll rlr) rr@(Bin rrs _ _ _))
-             | rls < ratio*rrs -> Bin (1+rs) rx (Bin (1+rls) x Tip rl) rr
-             | otherwise -> Bin (1+rs) rlx (Bin (1+size rll) x Tip rll) (Bin (1+rrs+size rlr) rx rlr rr)
-
-  (Bin ls _ _ _) -> case r of
-           Tip -> Bin (1+ls) x l Tip
-
-           (Bin rs rx rl rr)
-              | rs > delta*ls  -> case (rl, rr) of
-                   (Bin rls rlx rll rlr, Bin rrs _ _ _)
-                     | rls < ratio*rrs -> Bin (1+ls+rs) rx (Bin (1+ls+rls) x l rl) rr
-                     | otherwise -> Bin (1+ls+rs) rlx (Bin (1+ls+size rll) x l rll) (Bin (1+rrs+size rlr) rx rlr rr)
-                   (_, _) -> error "Failure in Data.Map.balanceR"
-              | otherwise -> Bin (1+ls+rs) x l r
-{-# NOINLINE balanceR #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  The bin constructor maintains the size of the tree
---------------------------------------------------------------------}
-bin :: a -> Set a -> Set a -> Set a
-bin x l r
-  = Bin (size l + size r + 1) x l r
-{-# INLINE bin #-}
-
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Utilities
---------------------------------------------------------------------}
-foldlStrict :: (a -> b -> a) -> a -> [b] -> a
-foldlStrict f = go
-  where
-    go z []     = z
-    go z (x:xs) = let z' = f z x in z' `seq` go z' xs
-{-# INLINE foldlStrict #-}
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Debugging
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Show the tree that implements the set. The tree is shown
--- in a compressed, hanging format.
-showTree :: Show a => Set a -> String
-showTree s
-  = showTreeWith True False s
-
-
-{- | /O(n)/. The expression (@showTreeWith hang wide map@) shows
- the tree that implements the set. If @hang@ is
- @True@, a /hanging/ tree is shown otherwise a rotated tree is shown. If
- @wide@ is 'True', an extra wide version is shown.
-
-> Set> putStrLn $ showTreeWith True False $ fromDistinctAscList [1..5]
-> 4
-> +--2
-> |  +--1
-> |  +--3
-> +--5
->
-> Set> putStrLn $ showTreeWith True True $ fromDistinctAscList [1..5]
-> 4
-> |
-> +--2
-> |  |
-> |  +--1
-> |  |
-> |  +--3
-> |
-> +--5
->
-> Set> putStrLn $ showTreeWith False True $ fromDistinctAscList [1..5]
-> +--5
-> |
-> 4
-> |
-> |  +--3
-> |  |
-> +--2
->    |
->    +--1
-
--}
-showTreeWith :: Show a => Bool -> Bool -> Set a -> String
-showTreeWith hang wide t
-  | hang      = (showsTreeHang wide [] t) ""
-  | otherwise = (showsTree wide [] [] t) ""
-
-showsTree :: Show a => Bool -> [String] -> [String] -> Set a -> ShowS
-showsTree wide lbars rbars t
-  = case t of
-      Tip -> showsBars lbars . showString "|\n"
-      Bin _ x Tip Tip
-          -> showsBars lbars . shows x . showString "\n"
-      Bin _ x l r
-          -> showsTree wide (withBar rbars) (withEmpty rbars) r .
-             showWide wide rbars .
-             showsBars lbars . shows x . showString "\n" .
-             showWide wide lbars .
-             showsTree wide (withEmpty lbars) (withBar lbars) l
-
-showsTreeHang :: Show a => Bool -> [String] -> Set a -> ShowS
-showsTreeHang wide bars t
-  = case t of
-      Tip -> showsBars bars . showString "|\n"
-      Bin _ x Tip Tip
-          -> showsBars bars . shows x . showString "\n"
-      Bin _ x l r
-          -> showsBars bars . shows x . showString "\n" .
-             showWide wide bars .
-             showsTreeHang wide (withBar bars) l .
-             showWide wide bars .
-             showsTreeHang wide (withEmpty bars) r
-
-showWide :: Bool -> [String] -> String -> String
-showWide wide bars
-  | wide      = showString (concat (reverse bars)) . showString "|\n"
-  | otherwise = id
-
-showsBars :: [String] -> ShowS
-showsBars bars
-  = case bars of
-      [] -> id
-      _  -> showString (concat (reverse (tail bars))) . showString node
-
-node :: String
-node           = "+--"
-
-withBar, withEmpty :: [String] -> [String]
-withBar bars   = "|  ":bars
-withEmpty bars = "   ":bars
-
-{--------------------------------------------------------------------
-  Assertions
---------------------------------------------------------------------}
--- | /O(n)/. Test if the internal set structure is valid.
-valid :: Ord a => Set a -> Bool
-valid t
-  = balanced t && ordered t && validsize t
-
-ordered :: Ord a => Set a -> Bool
-ordered t
-  = bounded (const True) (const True) t
-  where
-    bounded lo hi t'
-      = case t' of
-          Tip         -> True
-          Bin _ x l r -> (lo x) && (hi x) && bounded lo (<x) l && bounded (>x) hi r
-
-balanced :: Set a -> Bool
-balanced t
-  = case t of
-      Tip         -> True
-      Bin _ _ l r -> (size l + size r <= 1 || (size l <= delta*size r && size r <= delta*size l)) &&
-                     balanced l && balanced r
-
-validsize :: Set a -> Bool
-validsize t
-  = (realsize t == Just (size t))
-  where
-    realsize t'
-      = case t' of
-          Tip          -> Just 0
-          Bin sz _ l r -> case (realsize l,realsize r) of
-                            (Just n,Just m)  | n+m+1 == sz  -> Just sz
-                            _                -> Nothing